Gittertheoretische Einblicke in die Konstruktion von Geometrien

Eine der Aufgaben des Teilprojektes A04 besteht darin, stückweise lineare Bausteine mit gewünschten Randbedingungen zu entwickeln, um andere Teilprojekte mit innovativen Konstruktionsmethoden zu inspirieren. Ein Beispiel für solche Geometrien sind verriegelbare Bausteine, die unter Verwendung kristallographischer Flächengruppen innerhalb des Teilprojektes erstellt wurden. Hierbei besteht eine Verriegelung aus einer Menge von angeordneten Bausteinen und einem Rahmen, sodass keine Teilmenge von Bausteinen aus der Anordnung entfernt werden kann, ohne Kollisionen oder Überschneidungen mit anderen Bausteinen oder dem Rahmen zu erzeugen. Die Oberflächen solcher Bausteine lassen sich als triangulierte Flächen auffassen und mathematisch analysieren. Durch diese zusätzliche kombinatorische Beschreibung können lokale Modifikationen am Baustein vorgenommen und exakt modelliert werden.

Dieses Seedfund-Projekt hat einen gitter-theoretischen Ansatz untersucht, um verriegelbare Bausteine zu konstruieren. Ein Gitter im dreidimensionalen Raum setzt sich aus ganzzahligen Linearkombinationen dreier linear unabhängiger Vektoren zusammen. Mithilfe dieses neuen Ansatzes können die Positionen der Eckpunkte (Vertexpositionen) der konstruierten Flächen durch Translationen bestimmt werden, wodurch das Lösen polynomieller Gleichungssysteme zur Bestimmung der Vertexkoordinaten vermieden wird. Als besonders geeignet stellen sich hierbei modulare Herangehensweisen heraus. Bei diesen Methoden werden größere Flächen aus kleineren Bausteinen zusammengesetzt. Ein Beispiel für eine Struktur, die aus dieser modularen Konstruktion resultiert, ist das flächenzentrierte kubische Gitter. Dieses Gitter entsteht durch das systematische Zusammenfügen von regulären Oktaedern und Tetraedern.

Folgende Ergebnisse wurden erarbeitet:

• Entwicklung eines verriegelbaren Bausteins, dessen Kopien in einer Spirale angeordnet werden können, um die Verriegelung der Gesamtkonstruktion zu gewährleisten (b),
• Herstellung verschiedener verriegelbarer Bausteine unter Verwendung des Oktaeder-Tetraeder-Gitters (c),
• Modulare Herstellung verschiedener verriegelbarer Bausteine durch das Zusammensetzen verschiedener Prismen (d),
• Erstellung eines Julia-Pakets, um Geometrien zu untersuchen und Verriegelungseigenschaften von gegebenen Anordnung von Bausteinen zu verifizieren [2].

Quellen:

[1] Vakaliuk, I.; Goertzen, T.; Scheerer, S.; Niemeyer, A. C.; Curbach, M. (2022) Initial numerical development of design procedures for TRC bioinspired shells in: Su-duo Xue, S.-d.; Wu, J.-z.; Sun, G.-j. [eds.] Innovation, Sustainability and Legacy – Proceedings of IASS/APCS 2022, 19.–22.09.2022 in Beijing (China), p. 2597–2608.

[2] Stüttgen, S.; Akpanya, R.; Beckmann, B.; Chudoba, R.; Robertz, D.; Niemeyer, A. C. (2023) Modular Construction of Topological Interlocking Blocks—An Algebraic Approach for Resource-Efficient Carbon-Reinforced Concrete Structures in Buildings 13, issue 10, 2565 – DOI: https://doi.org/10.3390/buildings13102565

[3] Akpanya, R.; Goertzen, T.; Niemeyer, A. C. (2024) Topologically Interlocking Blocks inside the Tetroctahedrille in: arXiv: 2405.01944 [math.CO]

[4] Akpanya, R.; Goertzen, T.; Niemeyer, A. C. (2023) A Group-Theoretic Approach for Constructing Spherical-Interlocking Assemblies in: Xie, Y.; Burry, J.; Lee, T.; Ma, J. [eds.]: Integration of Design and Fabrication – Proc. of the IASS Annual Symp. 2023, 07/2023 in Melbourne (Australia), IASS, 2023, pp. 470–480.

[5] Akpanya, R.; Goertzen, T.; Wiesenhuetter, S.; Niemeyer, A. C.; Noennig, J. (2023) Topological Interlocking, Truchet Tiles and Self-Assemblies: A Construction-Kit for Civil Engineering Design in: Holdener, J.; Torrence, E.; Fong, C.; Seaton, K. [eds.]: Proc. of Bridges 2023: Mathematics, Art, Music, Architecture, Culture, 27.–31.07.2023 in Halifax (Nova Scotia, Canada), Phoenix: Tessellations Publ., p. 61–68.